卷积定理证明_卷积定理

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1、二个二维连续函数在空间域中的卷积可求其相应的二个傅立叶变换乘积的反变换而得。

2、反之，在频域中的卷积可用的在空间域中乘积的傅立叶变换而得。

3、f(x,y) * h(x,y)<=>F(u,v)H(u,v)；f(x,y)h(x,y)<=>[F(u,v) * H(u,v)] (A * B 表示做A与B的卷积）。

4、这一定理对拉普拉斯变换、双边拉普拉斯变换、Z变换、Mellin变换和Hartley变换等各种傅里叶变换的变体同样成立。

5、在调和分析中还可以推广到在局部紧致的阿贝尔群上定义的傅里叶变换。

6、 利用卷积定理可以简化卷积的运算量。

7、对于长度为n的序列，按照卷积的定义进行计算，需要做2N - 1组对位乘法，其计算复杂度为O(N * N)；而利用傅里叶变换将序列变换到频域上后，只需要一组对位乘法，利用傅里叶变换的快速算法之后，总的计算复杂度为O(N * log N)。

8、这一结果可以在快速乘法计算中得到应用。

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